2 это логарифм чего

2 это логарифм чего

На этом занятии мы изучим следующую тему: «Натуральные логарифмы. Функция y=ln x, её свойства, график, дифференцирование». Для начала дадим определение новому для нас понятию «натуральный логарифм», в основании которого стоит число е. После этого рассмотрим основные свойства функции y=ln x, построим график натурального логарифма, поговорим о его дифференцировании.

Определение.

Натуральным мы будем называть логарифм с основанием 2 это логарифм чего.

Напоминание: Что такое 2 это логарифм чего? Давайте вспомним. Итак, рассмотрим функцию 2 это логарифм чего. Число 2 это логарифм чегоиррациональное. В чем его особенность? К графику 2 это логарифм чего касательная в точке 2 это логарифм чего наклонена под градусом 2 это логарифм чего к оси 2 это логарифм чего. Рис. 1.

2 это логарифм чего

Рис. 1. Касательная к графику функции 2 это логарифм чего

Так вот, если касательная наклонена под градусом 2 это логарифм чего к оси 2 это логарифм чего, то основание этой функции есть число 2 это логарифм чего.

Производная в точке 2 это логарифм чего: 2 это логарифм чего.

И 2 это логарифм чегото есть скорость роста функции2 это логарифм чего в точке 2 это логарифм чего равна значению функции в этой же точке.

Мы вспомнили, что такое число 2 это логарифм чего – основание натурального логарифма.

Теперь дадим строгое определение и обозначение.

Определение.

Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию 2 это логарифм чего.

2 это логарифм чего

Несколько примеров, чтобы привыкнуть к новому обозначению.

Примеры:

2 это логарифм чего

2 это логарифм чего

2 это логарифм чего

Итак, мы дали строгое определение натуральному логарифму и привели несколько примеров.

Теперь изучим логарифмическую функцию с натуральным основанием, то есть 2 это логарифм чего

Функция 2 это логарифм чего. Во-первых, допускаются только положительные значения 2 это логарифм чего. Напомним, 2 это логарифм чего≈2,72 – иррациональное число. Для начала, чтобы построить график, используем таблицу.

 

Если 2 это логарифм чего;

Если 2 это логарифм чего;

2 это логарифм чегото вычисляем:

2 это логарифм чего;

Если 2 это логарифм чего, то

2 это логарифм чего.

Таким образом, построим график функции по точкам и понимаем характер изменения функции: рис. 2.

2 это логарифм чего

Рис. 2. График функции

Прочтем график функции и перечислим ее свойства:

Вот график:

2 это логарифм чего

Рис. 3. График функции

Функция определена, когда 2 это логарифм чего;

Функция возрастает на всей области определения (0,∞);

Функция не ограничена ни снизу, ни сверху;

Не существует 2 это логарифм чего,2 это логарифм чего

Функция непрерывна;

2 это логарифм чего;

Функция выпукла. Если рассмотреть отрезок (A;B), то функция находится над отрезком;

Функция дифференцируема. То есть в любой точке есть касательная.

Логарифмическую функцию с натуральным основанием можно дифференцировать. Давайте научимся это делать.

Для этого докажем формулу 2 это логарифм чего.

Доказательство.

Мы знаем, что 2 это логарифм чего;

Значит, производная от сложной функции 2 это логарифм чего;

Также знаем основное логарифмическое тождество:

2 это логарифм чего;

Продифференцируем тождество 2 это логарифм чего:

2 это логарифм чего

1=2 это логарифм чего

1=2 это логарифм чего

Выразим 2 это логарифм чего:

2 это логарифм чего.

Формула доказана. Теперь дифференцировать логарифмические функции с натуральным основанием мы можем.

В итоге имеем две важные формулы:

2 это логарифм чего;

Значит, мы умеем решать любые типовые задачи на производную логарифмической функции с основанием 2 это логарифм чего.

Найти производную.

2 это логарифм чего=2 это логарифм чего;

2 это логарифм чего

Найти производную функции в точке:

Дано: 2 это логарифм чего

Найти: 2 это логарифм чего

Решение:

1. Напомним формулу производной от дроби:

2 это логарифм чего

Найдем отдельно производные от числителя и знаменателя:

2 это логарифм чего;

2 это логарифм чего;

 

2.

2 это логарифм чего

3. Можно упрощать, а можно просто подставить 0.

2 это логарифм чего

Ответ: 2 это логарифм чего

Найти касательную:

Дано: 2 это логарифм чего

Найти: уравнение касательной к данной прямой в данной точке

Решение.

У нас есть стандартная методика.

Есть уравнение касательной:

2 это логарифм чего

Все действия данной методики направлены на то, чтобы найти нужные нам элементы касательной:

Находим точку касания. Так как 2 это логарифм чего, то

2 это логарифм чего

Точка касания найдена.

Находим производную в любой точке 2 это логарифм чего

Находим производную в конкретной точке 2 это логарифм чего: 2 это логарифм чего

Находим уравнение касательной: 2 это логарифм чего

2 это логарифм чего – таково уравнение касательной.

Теперь дадим иллюстрацию на чертеже:

Как построить график функции 2 это логарифм чего?

Надо стандартную кривую 2 это логарифм чего сдвинуть влево на единицу по оси 2 это логарифм чего (рис. 4).

 

2 это логарифм чего

Рис. 4. Иллюстрация примера

Получим кривую. Ее асимптота 2 это логарифм чего. Получили и саму кривую и касательную. То есть, иллюстрация дана.

Итак, мы познакомились с натуральными логарифмами, изучили функцию y=ln x. На следующем уроке мы рассмотрим дифференцирование показательной и логарифмической функций.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ru.wikipedia.org (Источник).
  2. Mathprofi.ru (Источник).
  3. Ru.wikipedia.org (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти производную функции:

а) 2 это логарифм чего;

б) 2 это логарифм чего.

2.

a) Найти уравнение касательной к прямой 2 это логарифм чего в точке 2 это логарифм чего;

б) Найти уравнение касательной к прямой 2 это логарифм чего в точке 2 это логарифм чего.

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1648, 1656.



Источник: interneturok.ru


Добавить комментарий