Центральный угол чем измеряется

Центральный угол чем измеряется

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

Окружность

 

Радиус окружности

R

– отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда

a

– отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр

d

– хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности

(d=2R).

Окружность: радиус, диаметр, хорда

OA

— радиус,

DE

— хорда,

BC

— диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Окружность: радиус, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Окружность: касательная к окружности

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны

(AC=BC).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

 

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.

Окружность: дуга окружности

Например, хорда

AB

стягивает две дуги:

AMB

и

ALB.

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Окружность: равные хорды стягивают равные дуги

Если

AB=CD,

то

AB=CD

 

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

AOB

— центральный.

Окружность: центральный угол

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

AB=AOB=α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна

360°.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

ACB

— вписанный.

Окружность: вписанный угол

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

ACB=AB2=α2 AB=2ACB=α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Окружность: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны

MAN=MBN=MCN= MN2=α2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен

90°.

Окружность: вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов

MN

— диаметр.

MAN=MBN= MN2=180°2=90°

 

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна

360°

). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги — это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный

α.

Окружность: длина дуги окружности радиуса R

Градусная мера дуги

AB

равна градусной мере дуги

CD

и равна

α.

AB=CD=α

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

l=2πR

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол

α

равна:

lα=πR180α

 

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг — часть пространства, которая находится внутри окружности.

Круг радиуса R

Иными словами, окружность — это граница, а круг — это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле:

S=πR2

Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сектор окружности радиуса R

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом

α

находится по формуле:

Sα=πR2360°α

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Сегмент окружности радиуса R

Примеры сектора в реальной жизни: мармелад «лимонная долька», лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S=πR2180°α12R2sinα

 

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

Окружность, описанная около треугольника, теорема синусов

asinA=bsinB=csinC=2R

Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

 

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

 

 



Источник: epmat.ru


Добавить комментарий