Делители числа 22

Делители числа 22

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Как найти все делители числа

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится

0

.

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего

4

делителя, два из которых больше

0

и два меньше:

1, 1, a, a

. Возьмем простое число

7

: у него есть делители

7, 7, 1

и

1

, и все. Еще один пример:

367

– тоже простое число, которое можно разделить лишь на

1, 1, 367

и

367

.

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Теорема 1

Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида

a=p1s1·p2s2··pnsn

. Тогда натуральными делителями числа

a

будут следующие числа:

d=p1t2·p2t2··pntn

, где 

t1=0, 1, , s1, t2=0, 1, , s2, , tn=0, 1, , sn

.

Доказательство 1

Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что

a

можно разделить на

d

, если есть такое число

q

, что делает верным равенство

a=d·q

, т.е.

q=p1(s1t1)·p2(s2t2)··pn(sntn)

.

Любое число, делящее

a

, будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме

p1, p2, , pn

, оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят

s1, s2, , sn

.

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

  1. Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида
    a=p1s1·p2s2··pnsn

    .

  2. Найти все значения
    d=p1t2·p2t2··pntn

    , где числа

    t1, t2, , tn

    будут принимать независимо друг от друга каждое из значений 

    t1=0, 1, , s1, t2=0, 1, , s2, , tn=0, 1, , sn

    .

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Пример 1

Условие: найти все делители

8

.

Решение

Разложим восьмерку на простые множители и получим

8=2·2·2

.  Переведем разложение в каноническую форму и получим

8=23

. Следовательно,

a=8, p1=2, s1=3

.

Поскольку все делители восьмерки будут значениями 

p1t1=2t1

, то

t1

 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки.

3

будет последним значением, ведь

s1=3

. Таким образом, если

t1=0

, то

2t1=20=1

, если

1

, то

2t1=21=2

, если

2

, то

2t1=22=4

, а если

3

, то

2t1=23=8

.

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t1 2t1
0 20=1
1 21=2
2 22=4
3 23=8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа

1, 2, 4

и

8

, а отрицательными

1, 2, 4

и

8

.

Ответ: делителями данного числа будут

±1, ±2, ±4, ±8

.

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Пример 2

Условие: найдите все делители числа

567

, являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

56718963217133337

Приведем разложение к каноническому виду и получим

567=34·7

. Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать

t1

 и 

t2

 значения

0, 1, 2, 3, 4

 и 

0, 1

, вычисляя при этом значения

3t1·7t2

. Результаты будем вносить в таблицу:

t1 t2 3t1·7t2
0 0 30·70=1
0 1 30·71=7
1 0 31·70=3
1 1 31·71=21
2 0 32·70=9
2 1 32·71=63
3 0 33·70=27
3 1 33·71=189
4 0 34·70=81
4 1 34·71=567

Ответ: натуральными делителями

567

будут числа

27, 63, 81, 189, 1, 3, 7, 9, 21

и

567

.

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Пример 3

Условие: найти все делители

3 900

, которые будут больше

0

.

Решение

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как

3 900=22·3·52·13

. Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение

2t1·3t2·5t3·13t4

 значения

t1

, равные

0, 1

и

2

,

t2=0

,

1

t3=0

,

1

,

2

t4=0

,

1

. Результаты представляем в табличном виде:

t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
0 0 0 0 20·30·50·130=1
0 0 0 1 20·30·50·131=13
0 0 1 0 20·30·51·130=5
0 0 1 1 20·30·51·131=65
0 0 2 0 20·30·52·130=25
0 0 2 1 20·30·52·131=325
0 1 0 0 20·31·50·130=3
0 1 0 1 20·31·50·131=39
0 1 1 0 20·31·51·130=15
0 1 1 1 20·31·51·131=195
0 1 2 0 20·31·52·130=75
0 1 2 1 20·31·52·131=975

 

t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
1 0 0 0 21·30·50·130=2
1 0 0 1 21·30·50·131=26
1 0 1 0 21·30·51·130=10
1 0 1 1 21·30·51·131=130
1 0 2 0 21·30·52·130=50
1 0 2 1 21·30·52·131=650
1 1 0 0 21·31·50·130=6
1 1 0 1 21·31·50·131=78
1 1 1 0 21·31·51·130=30
1 1 1 1 21·31·51·131=390
1 1 2 0 21·31·52·130=150
1 1 2 1 21·31·52·131=1950

 

t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
2 0 0 0 22·30·50·130=4
2 0 0 1 22·30·50·131=52
2 0 1 0 22·30·51·130=20
2 0 1 1 22·30·51·131=260
2 0 2 0 22·30·52·130=100
2 1 0 1 22·30·52·131=1300
2 1 0 0 22·31·50·130=12
2 1 0 1 22·31·50·131=156
2 1 1 0 22·31·51·130=60
2 1 1 1 22·31·51·131=780
2 1 2 0 22·31·52·130=300
2 1 2 1 22·31·52·131=3900

Ответ: делителями числа

 3 900

будут:

195, 260, 300, 325, 390, 650, 780, 975, 75, 78, 100, 130, 150, 156, 13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50,52, 60, 65, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 1 300, 1 950, 3 900

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как

a=p1s1·p2s2··pnsn

, нужно найти значение выражения

(s1+1) ·(s2+1) ··(sn+1)

. О количестве наборов переменных

t1, t2, , tn

мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа

3 900

, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали:

3 900=22·3·52·13

. Значит,

s1=2, s2=1, s3=2, s4=1

. Теперь подставим значения

s1, s2, s3

 и 

s4

в выражение

(s1+1) ·(s2+1) ·(s3+1) ·(s4+1)

и вычислим его значение. Имеем

(2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36

. Значит, это число имеет всего

36

делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет

72

делителя.

Пример 4

Условие: определите, сколько делителей имеет

84

.

Решение 

Раскладываем число на множители.

844221712237

Записываем каноническое разложение:

84=22·3·7

. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей:

(2+1)·(1+1)·(1+1) =12

. Для учета отрицательных нужно умножить это число на

2:2·12=24

.

Ответ: всего у

84

будет

24

делителя –

12

положительных и

12

отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Пример 5

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел

140

и

50

? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД

(140, 50)

.

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140=50·2+40, 50=40·1+10, 40=10·4

, значит, НОД

(50, 140)=10

.

Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим

20·50=1, 20·51=5, 21·50=2

 и

 21·51=10

. Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это

1, 2, 5

 и 

10

, а всего их четыре.

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные

10, 5, 2

и

1

.

Пример 6

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел

585, 315, 90

и

45

.

Решение

Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку

90=2·3·3·5, 45=3·3·5, 315=3·3·5·7

и

585=3·3·5·13

, то таким делителем будет

5

: НОД

(90, 45, 315, 585) =3·3·5=32·5

.

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

Считаем:

НОД

(90, 45, 315, 585) =32·5:(2+1)·(1+1) =6

.

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.



Источник: Zaochnik.com


Добавить комментарий