Дифференциальные уравнения третьего порядка

Дифференциальные уравнения третьего порядка

Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения, решающегося непосредственным интегрированием. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Метод решения

Рассмотрим уравнение n-го порядка:
(1)   .
Оно решается непосредственным интегрированием.
;
;
;
. . . . . . . .
При этом постоянные интегрирования C1, C2,Cn входят в результат в виде многочлена степени n:
.

Также общее решение уравнения (1) можно представить в виде однократного интегрирования:
(2)   ,
где a – некоторая постоянная. Однако, интегрирование по формуле (2) приводит, как правило, к более громоздким вычислениям, чем непосредственное интегрирование.

Проверим формулу (2). Для этого возьмем производную от (2):




.

Выполняя n – 1 дифференцирований, получаем:
.
Дифференцируя еще раз приходим к выражению (2):
.

Пример

Решить уравнение:
.

Решение

Преобразуем, применяя формулу тригонометрии:
.
Интегрируем:

.
Интегрируем еще раз:
;

.

Преобразуем постоянные интегрирования:
.

Ответ

.

.     Опубликовано:



Источник: 1cov-edu.ru


Добавить комментарий