Дробная степень в корень

Дробная степень в корень

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств

, изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства 

 n

-ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах

.

  1. Свойство

    умноженных чисел

    a

    и

    b

    , которое представляется как равенство

    a·b=a·b

    . Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю

    a1, a2, , ak

    как

    a1· a2· · ak=a1· a2· · ak

    ;

  2. из частного

    a:b=a:b,  a0, b>0

    , он также может записываться в таком виде

    ab=ab

    ;

  3. Свойство

    из степени числа

    a

    с четным показателем

    a2·m=am

    при любом числе

    a

    , например, свойство

    из квадрата числа

    a2=a

    .

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство

a·b=a·b

трансформируется как

a·b=a·b

. Свойства

для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня

a·b=a·b

. Согласно определению

, необходимо рассмотреть, что

a·b

— число, положительное или равное нулю, которое будет равно

a·b

при возведении в квадрат. Значение выражения

a·b

положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде

(a·b)2=a2·b2

. По определению квадратного корня

a2=a

и

b2=b

, то

a·b2=a2·b2=a·b

.

Аналогичным способом можно доказать, что

из произведения

k

множителей

a1, a2, , ak

будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно,

a1·a2· · ak2=a12· a22· · ak2=a1· a2· · ak

.

Из этого равенства следует, что

a1· a2· · ak=a1· a2· · ak

.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1
3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312

и

2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1)

.

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного:

a:b=a:b, a0, b>0

. Свойство позволяет записать равенство

a:b2=a2:b2

, а

a2:b2=a:b

, при этом

a:b

является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например,

0:16=0:16, 80:5=80:5

и

30,121=30,121

.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как

a2=a

Чтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при

a0

и при

a<0

.

Очевидно, что при

a0 

справедливо равенство

a2=a

. При

a<0

будет верно равенство

a2=a

. На самом деле, в этом случае

a>0

и

 (a)2=a2

. Можно сделать вывод,

a2=a, a0a, a<0=a

. Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2
52=5=5

и

0,362=0,36=0,36

.

 Доказанное свойство

поможет дать обоснование

a2·m=am

, где

a

– действительное, а

m

–натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень

a2·m

выражением

(am)2

, тогда

a2·m=(am)2=am

.

Пример 3
38=34=34

и

(8,3)14=8,37=(8,3)7

.

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней

n

-ой степени:

  1. Свойство

    из произведения чисел

    a

    и

    b

    , которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства

    a·bn=an·bn

    , данное свойство справедливо для произведения

    k

    чисел

    a1, a2, , ak

    как

    a1· a2· ·akn=a1n· a2n· ·akn

    ;

  2.  из дробного числа обладает свойством

    abn=anbn

    , где

    a

    – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а

    b

    – положительное действительное число;

  3. При любом
    a

    и четных показателях

    n=2·m

    справедливо

    a2·m2·m=a

    , а при нечетных

    n=2·m1

    выполняется равенство

    a2·m12·m1=a

    .

  4. Свойство извлечения

    из

    amn=an·m

    , где

    a

    – любое число, положительное или равное нулю,

    n

    и

    m

    – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде

    ...ankn2n1=an1·n2...·nk

    ;

  5. Для любого неотрицательного 
    a

    и произвольных

    n

    и

    m

    , которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство

    amn·m=an

    ;

  6. Свойство

    степени

    n

    из степени числа

    a

    , которое положительно или равно нулю, в натуральной степени

    m

    , определяемое равенством

    amn=anm

    ;

  7. Свойство сравнения

    , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел

    a

    и

    b

    таких, что

    a<b

    , выполняется неравенство

    an<bn

    ;

  8. Свойство сравнения

    , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если

    m

    и

    n

    натуральные числа, что

    m>n

    , тогда при

    0<a<1

    справедливо неравенство

    am>an

    , а при

    a>1

    выполняется

    am<an

    .

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

  1. Первым делом докажем свойства корня
    n

    -ой степени из произведения

    a·bn=an·bn

    . Для

    a

    и

    b

    , которые являются положительными или равными нулю, значение

    an·bn

    также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство

    an·bnn=ann·bnn

    . По определению корня

    n

    -ой степени

    ann=a

    и

    bnn=b

    , следовательно,

    an·bnn=a·b

    . Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения

k

множителей: для неотрицательных чисел

a1, a2, , an 

выполняется

a1n· a2n· · akn 0

.

Приведем примеры использования свойства корня

n

-ой степени из произведения:

5·2127=57·2127

и

8,34·17,(21)4·34·574=8,3·17,(21)·3·574

.

  1. Докажем свойство корня из частного 
    abn=anbn

    . При

    a0

    и

    b>0

    выполняется условие

    anbn0

    , а

    anbnn=annbnn=ab

    .

Покажем примеры:

Пример 4
8273=83273

и  

2,310:2310=2,3:2310

.

  1. Для следующего шага необходимо доказать свойства
    n

    -ой степени из числа в степени

    n

    . Представим это в виде равенства

    a2·m2·m=a

    и

    a2·m12·m1=a

    для любого действительного

    a

    и натурального

    m

    . При

    a0

    получаем

    a=a

    и

    a2·m=a2·m

    , что доказывает равенство

    a2·m2·m=a

    , а равенство

    a2·m12·m1=a

     очевидно. При

    a<0

    получаем соответственно

    a=a

    и

    a2·m=(a)2·m=a2·m

    . Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство

    a2·m2·m=a

    , а

    a2·m12·m1=a

    будет справедливо, так как за

     нечетной степени рассматривается

    c2·m1=c2·m1

    для любого числа

    c

    , положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

Пример 5
744=7=7, (5)1212=5=5, 088=0=0, 633=6

и

(3,39)55=3,39

.

  1. Докажем следующее равенство
    amn=an·m

    . Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами

    an·m=amn

    . Это будет означать верная запись . Для

    a

    , которое является положительным или равно нулю,

    из

    вида

    amn

    является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению

    . С их помощью можно преобразовать равенства в виде

    amnn·m=amnnm=amm=a

    . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно,

...ankn2n1n1·n2·...·nk=...ankn3n2n2·n3·...·nk=...ankn4n3n3·n4·...·nk=...=anknk=a

.

Например,

735=75·3

и

0,00096=0,00092·2·6=0,000924

.

  1. Докажем следующее свойство
    amn·m=an

    . Для этого необходимо показать, что

    an

    – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень

     n·m

    равно

    am

    . Если число

    a

    является положительным или равным нулю, то

    n

    -ой степени из числа

    a

    является числом положительным или равным нулю При этом

    an·mn=annm

    , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

2312=24

.

  1. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида
    amn=anm

    . Очевидно, что при

    a0

    степень

    anm

    является неотрицательным числом. Более того, ее

    n

    -ая степень равна

    am

    , действительно,

    anmn=anm·n=annm=am

    . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например,

2353=2335

.

  1. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел
    a

    и

    b 

    выполнено условие

    a<b

    . Рассмотрим неравенство 

    an<bn

    . Воспользуемся методом от противного

    anbn

    . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным

    annbnn

    , то есть,

     ab

    . Но это не соответствует условию

    a<b

    . Следовательно,

    an<bn

    при

    a<b

    .

Для примера приведем

124<15234

.

  1. Рассмотрим свойство корня
    n

    -ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При

    m>n

    и

    0<a<1

    справедливо 

    am>an

    . Предположим, что

    aman

    . Свойства позволят упростить выражение до

    anm·namm·n

    . Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство

    anm·nm·namm·nm·n

    , то есть,

    anam

    . Полученное значение при

    m>n

    и

    0<a<1

    не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при

m>n

и

a>1

справедливо условие

am<an

.

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Пример 6



Источник: Zaochnik.com


Добавить комментарий