Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

Формула для нахождения площади.

Формула для нахождения площади

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как мы пытались ее решить:

Первый способ.

Разбили отрезок Формула для нахождения площадина Формула для нахождения площади одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили Формула для нахождения площади в пределе Формула для нахождения площадии

получили искомую площадь S. Ввели обозначение Формула для нахождения площади.

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Формула для нахождения площади

Рис. 2. Функция S (x)

Ввели функцию Формула для нахождения площади. Каждому Формула для нахождения площадиплощадь под соответствующей частью кривой Формула для нахождения площади. Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому Формула для нахождения площади соответствует единственное значение Формула для нахождения площади.

Мы доказали, что производная этой же функции Формула для нахождения площади и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функцииФормула для нахождения площадии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке Формула для нахождения площади и отнять первообразную в точке Формула для нахождения площади И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

 Формула для нахождения площади.

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Формула для нахождения площади

Решение.

Вот искомая площадь:

Формула для нахождения площади

Рис. 3. Площадь

Вот формула:

Формула для нахождения площади

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Пределы интегрирования Формула для нахождения площади.

 

Формула для нахождения площади=Формула для нахождения площади.

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

Ответ: Формула для нахождения площади

В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью Формула для нахождения площади А именно:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Формула для нахождения площади

Решение.

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Формула для нахождения площади

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями Формула для нахождения площади

Формула та же самая: Формула для нахождения площади

В нашем случае Формула для нахождения площади. Итак, надо найти определенный интеграл

Формула для нахождения площади=-(-1)+1=1+1=2.

Искомая площадь найдена, и ответ получен.

Ответ: 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиФормула для нахождения площади

Решение.

Формула для нахождения площади

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиямиФормула для нахождения площади

Формула для площади та же самая:

 

Формула для нахождения площади

В нашем случае Формула для нахождения площади.

Формула для нахождения площади

Ответ: Формула для нахождения площади

В следующем примере ищется площадь под параболой.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Формула для нахождения площади

Решение.

Схематически изобразим параболу Формула для нахождения площади Корни Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

Рис. 6. Парабола Формула для нахождения площади

Применим известную формулу Формула для нахождения площади

И применим ее для данной функции  Формула для нахождения площадии пределов интегрирования

 Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

Искомая площадь найдена. Формула для нахождения площади

Ответ:Формула для нахождения площади

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью Формула для нахождения площади. В следующей задаче наоборот.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиФормула для нахождения площади.

Решение.

Посмотрим, что это за фигура. График Формула для нахождения площадив пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

 

Формула для нахождения площади

Рис. 7. График Формула для нахождения площадив пределах от Π до 2Π

Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.

Вычисляем.

1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции Формула для нахождения площади

Надо найти первообразную.

По таблице первообразных: Формула для нахождения площади.

Формула для нахождения площади=-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль Формула для нахождения площади=2.

Ответ: 2.

Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.

А именно:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 8)

Формула для нахождения площади

 

Формула для нахождения площади

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями Формула для нахождения площади

Решение.

Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью Формула для нахождения площади.

Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное Формула для нахождения площади, что площадь находится над осью Формула для нахождения площади. Рис. 9.

Формула для нахождения площади

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

Площадь под верхней кривой Формула для нахождения площади минус площадь под нижней кривой Формула для нахождения площади.

Каждую из площадей мы умеем находить.

Формула для нахождения площади

Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.

Ответ:Формула для нахождения площади

 

Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.

Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 Формула для нахождения площади.

Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое Формула для нахождения площади, и это Формула для нахождения площади Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения Формула для нахождения площади. Правило следующее:

Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями Формула для нахождения площади Формула для нахождения площадинепрерывных на отрезке Формула для нахождения площади и таких, что для всех Формула для нахождения площади из отрезкаФормула для нахождения площади Формула для нахождения площади вычисляется по формуле, которую мы вывели:

Формула для нахождения площади

Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

 Формула для нахождения площади.

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади – биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Формула для нахождения площади

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: Формула для нахождения площади.

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно Формула для нахождения площади:

Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

Мы нашли Формула для нахождения площади, то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

2. Формула для нахождения площади=  Формула для нахождения площади=(Формула для нахождения площади)Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

 

Искомая площадь равна 4,5

Ответ: 4,5

Во втором примере часть площади находится под осью Формула для нахождения площади, но на методику это не влияет.

Пример 6.

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для нахождения площади

Решение.

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Формула для нахождения площади

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями Формула для нахождения площади

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системыФормула для нахождения площади.

Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

 

То есть, пределы интегрирования найдены.

Формула для нахождения площади= (Формула для нахождения площади)Формула для нахождения площади

Формула для нахождения площади

Ответ: Формула для нахождения площади

Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ru.scribd.com (Источник).
  2. Math4you.ru (Источник).
  3. Dok.opredelim.com (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Формула для нахождения площади, Формула для нахождения площади, Формула для нахождения площади,Формула для нахождения площади
  2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Формула для нахождения площади
  3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.

 



Источник: interneturok.ru


Добавить комментарий