Интеграл с нуля

Интеграл с нуля

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование — замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

Интеграл с нуля.

Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(xy), Q(xy) и их частные производные Интеграл с нуля и Интеграл с нуля — функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

Интеграл с нуля.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл с нуля,

если L — контур треугольника OAB, где О(0; 0), A(1; 2) и B(1; 0). Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

Интеграл с нуля

Решение.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox, поэтому её уравнением будет y = 0. Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB:

Интеграл с нуля

Уравнением стороны BA будет x = 1. Поэтому dx = 0. Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA:

Интеграл с нуля

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

Интеграл с нуля.

Таким образом, dy = 2dx. Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO:

Интеграл с нуля

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

Интеграл с нуля.

б) Применим формулу Грина. Так как Интеграл с нуля, Интеграл с нуля, то Интеграл с нуля. У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Интеграл с нуля

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

Интеграл с нуля,

где L — контур OAB, OB — дуга параболы y = x², от точки О(0; 0) до точки A(1; 1), AB и BO — отрезки прямых, B(0; 1).

Интеграл с нуля

Решение. Так как функции Интеграл с нуля, Интеграл с нуля, а их частные производные Интеграл с нуля, Интеграл с нуля, D — область, ограниченная контуром L, у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Интеграл с нуля

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями



Источник: function-x.ru


Добавить комментарий