Как найти тангенс угла острого

Как найти тангенс угла острого

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.

Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).

Как найти тангенс угла острого

Рис. 1

Как найти тангенс угла острого;

Как найти тангенс угла острого – катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна Как найти тангенс угла острого: Как найти тангенс угла острого.

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: Как найти тангенс угла острого.

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Как найти тангенс угла острого, Как найти тангенс угла острого.

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Как найти тангенс угла острого, Как найти тангенс угла острого.

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

Как найти тангенс угла острого, Как найти тангенс угла острого.

С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

Например, из формулы: Как найти тангенс угла острого. Аналогично: Как найти тангенс угла острого.

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: Как найти тангенс угла острого.

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим следующие две формулы: Как найти тангенс угла острого. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Как найти тангенс угла острого, то формула приобретает следующий вид:

Как найти тангенс угла острого

Аналогично получаем: Как найти тангенс угла острого. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Как найти тангенс угла острого, то формула приобретает следующий вид:

Как найти тангенс угла острого

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

Как найти тангенс угла острого

Доказательство

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: Как найти тангенс угла острого, Как найти тангенс угла острого. Тогда: Как найти тангенс угла острого. Доказано.

Аналогично: Как найти тангенс угла острого.

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники Как найти тангенс угла острого. Кроме того, Как найти тангенс угла острого.

Доказать:Как найти тангенс угла острого.

Доказательство

Как найти тангенс угла острого (так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: Как найти тангенс угла острого.

Отсюда получаем: Как найти тангенс угла острого.

Как найти тангенс угла острого.

Как найти тангенс угла острого.

Доказано.

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: Как найти тангенс угла острого.

Примечание: Как найти тангенс угла острого

Доказательство

Как найти тангенс угла острого, тогда: Как найти тангенс угла острого (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: Как найти тангенс угла острого).

Доказано.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

Дано: Как найти тангенс угла острого – прямоугольный (Как найти тангенс угла острого), Как найти тангенс угла острого.

Найти: Как найти тангенс угла острого

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: Как найти тангенс угла острого. Подставим в него известное нам значение синуса: Как найти тангенс угла острого. Отсюда: Как найти тангенс угла острого. Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: Как найти тангенс угла острого.

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: Как найти тангенс угла острого.

Ответ: Как найти тангенс угла острого.

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
  2. Xvatit.com (Источник).
  3. Egesdam.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. № 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
  3. Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен Как найти тангенс угла острого.



Источник: interneturok.ru


Добавить комментарий