Как оформить правильно проектную работу

Как оформить правильно проектную работу

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Волгоградский строительный техникум»

(ГБПОУ «Волгоградский строительный техникум»)

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по учебной дисциплине

МАТЕМАТИКА

Тема: Лист Мёбиуса и его свойства

Выполнил:

студент гр. Шоп 1-18

Квартин Роман Дмитриевич

Руководитель проекта:

преподаватель

Галушкина Марина Александровна

2019

Содержание

В наше время актуально изучение различных свойств предметов и их нестандартных применений. Я рассмотрел применение листа Мебиуса в науке и технике. Уже сейчас лента Мебиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д.

Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия[2].

Исходя из вышесказанного, я ставлю перед собой следующие цели:

  1. Показать, что лист Мебиуса – модель односторонней поверхности.

  2. Сформулировать свойства листа Мебиуса.

  3. Рассмотреть применение листа Мебиуса на практике.

Новизна работы заключается в том, что студенты нашего техникума выявлением свойств листа Мёбиуса ранее не занимались. Я провел анкетирование и заметил, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают о его свойствах.

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования: свойства листа Мебиуса.

Поверхность стола, бумаги, поверхность стен комнаты, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может[4].

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Основными этапами исследования были:

  • постановка проблемы;

  • анкетирование;

  • изучение литературы с целью получения информации о листе Мёбиуса;

  • сбор собственного материала;

  • проведение экспериментов;

  • разработка нового электронного продукта.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.

Для достижения данной цели я поставил перед собой следующие задачи:

  • Познакомиться с биографией Мебиуса и с историей его замечательного открытия.

  • Описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления.

  • Изучить и исследовать свойства листа Мебиуса

  • Установить области применения листа Мебиуса.

  • Создать презентацию в Microsoft Power Point.

Гипотеза исследования: Я предполагаю, что лист Мёбиуса действительно обладает неожиданными свойствами.

Для того чтобы решить эту проблему, я должна изучить нужную информацию в математической литературе и на различных сайтах Интернета, затем изготовить лист Мебиуса и с помощью опытов выявить его необыкновенные свойства.

Вид проекта – информационно-исследовательский.

Методы исследования:

Готовый продукт – мультимедийная презентация.

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – немецкий геометр, ученик «короля математиков». Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике.

Одним «неожиданным» математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»

Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени[3].

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

Лист Мебиуса положил начало новой науке – топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту.

Лист Мёбиуса — бумажная лента, повернутая одним концом на полоборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом. ( рис. 1)

hello_html_4588e9f6.jpg

Рисунок 1

Поверхность листа Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш, и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели, потому как поверхность ленты Мёбиуса — односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Что же из этого свойства следует? А следует удивительное превращение ленты.

Если разрезать ее вдоль, точно посередине — получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получится два кольца — но!- одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма «затейливое» переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. [1]

Удивительные свойства листа Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера.( рис. 2)

hello_html_4fdaa318.png

Рисунок 2

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. В 1969 году изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: срок работы ленты увеличились вдвое.

В технике так же применяется резистор Мебиуса, прокатный стан, ремень передачи, подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы, ремень передачи.( рис. 3)

hello_html_m317dd95.jpg

Рисунок 3

Благодаря ленте Мёбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами.( рис. 4)

hello_html_56affc3a.jpg

Рисунок 4

В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса. Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса.

Имеются воплощения простого листа Мёбиуса в строительстве. Построенный в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.( рис. 5)

hello_html_3ebc289e.jpg

Рисунок 5

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.( рис. 6)

hello_html_23d5f636.png

Рисунок 6

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.

Например, на значке механико-математического  факультета Московского университета.( рис. 7)

hello_html_m2f03cf14.png

Рисунок 7

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

Чтобы выяснить, что же знают студенты нашего техникума о листе Мёбиуса и его свойствах, я провел среди них анкетирование.

Анкета содержала следующие вопросы:

Анкета:

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

  1. Знаете ли Вы, что такое топология?

— нет;

— да.

2. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?

— я знаю, что это такое;

— только слышал о таком понятии;

— не знакомо.

3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?

— нет;

— да, это следующие свойства — ______________________.

4. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса?

— нет;

— да, он применяется — _______________________________.

Обработав анкеты, я получил следующие результаты:

Знают, что такое топология – 8 человек (8 %) (Диаграмма – рис. 8)

hello_html_5792f4c5.gif

Рисунок 8

Знают, что такое лист Мёбиуса – 5 человек (5 %)

Только слышали о листе Мёбиуса – 14 человек (14%)

Не знакомо – 81 человек (81%) (диаграмма – рис.9)

hello_html_1289868c.gif

Рисунок 9

Знают о свойствах листа Мёбиуса – 4 человека (4%) (диаграмма – рис.10)

hello_html_m55ea0050.gif

Рисунок 10

Знают, где применяется лист Мёбиуса – 4 человека (4%) (диаграмма – рис. 11)

hello_html_m1483ec83.gif

Рисунок 11

Анкетирование показало, что большинству опрошенных не знаком лист Мёбиуса и всё, что с ним связано.

Берём бумажную ленту АВВ1А1. Прикладываем её концы АВ и А1В1 друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой В1, а точка В с точкой А1. (склеим концы ленты, предварительно повернув один из них на 180 градусов). Получим перекрученное кольцо. Лист Мёбиуса готов.

Для проведения опытов я изготовил бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, я проводил опыты с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).

Таблица 1

Опыт 1

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо

( рис. 12)

Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая остаётся чистой.

hello_html_m46e22c4e.jpg

Рисунок 12

Лист Мёбиуса ( рис. 13)

Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

hello_html_7256d346.jpg

Рисунок 13

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса является непрерывной.

На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты. Разрывов нет – непрерывность полная.

Таблица 2

Опыт 2

Закрасим полностью только одну сторону колец.

Обычное кольцо ( рис. 14)

Одна сторона закрашена, другая нет.

hello_html_m23cddc4.jpg

Рисунок 14

Лист Мёбиуса ( рис. 15)

Закрашенной оказалась весь лист целиком.

hello_html_14c5dbb3.jpg

Рисунок 15

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя.

Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Опыт 3

Закрасим непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо (рис. 16)

Один край кольца закрашен, второй край нет.

hello_html_m315ba14e.jpg

Рисунок 16

Лист Мёбиуса(рис. 17)

Линия края получилась, непрерывно закрашена на всём кольце.

hello_html_m6bb5eb1e.jpg

Рисунок 17

Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край.

Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, я узнал о жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё гениальное рядом». Открытие положило начало новому направлению в математике. Мною была изучена большая разнообразная информация. Она анализировалась и перерабатывалась.

Я получил удовольствие, когда выполняла опыты. Результаты были очевидны, поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом Мёбиуса. Так я узнал об удивительных свойствах листа Мёбиуса. Для меня это были маленькие открытия.

Я сумел получить интересный математический материал. В ходе работы я создал мультимедийную презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса. Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделилась со своими друзьями. Думаю, что это их заинтересовало. Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на занятиях, так и во внеклассной и кружковой работе.

С листом Мёбиуса можно провести ещё много опытов и убедиться в открытых свойствах. Количество опытов зависит от собственного интереса и терпения.

Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с листом Мебиуса.

  1. Гарднер М.О.. Математические чудеса и тайны. – М.:Наука,1978.-185 с.;

  2. Лэнгдон Н., Снейт Ч.. С математикой в путь. – М.: Педагогика, 1987.-113 с.;

  3. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1988. .-167 с.;

  4. Смирнова Е.С. Курс наглядной геометрии: Методическая разработка для 6 кл.: Кн.для учителя. – М.:Просвещение, 2002.-198 с.;

  5. Шарыгин И.Ф., Еранжиева Л.Н. Наглядная геометрия: 5-6 кл. – М.: Дрофа, 2000. .-204 с.;

hello_html_65efd1a7.jpg

Рисунок 18

Мауриц Эшер.

Гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.

Эксперименты с бумагой

Эксперимент 1.Перед склеиванием концов бумажной полосы прорежем щель в полосе, проденем сквозь нее один из ее концов, а затем продолжим разрез вдоль всей ленты.

hello_html_m6cf05c78.png

Рисунок 19

Результат: два листа Мебиуса.

Эксперимент 2. Приготовим два кольца: одно обычное и одно Мебиусово. Склеим их под прямым углом, а затем оба разрежем вдоль.

hello_html_m6b16f013.png

Рисунок 20

Результат: прямоугольная плоская рамка.

Эксперимент 3. Возьмем бумажную полоску. Ее концы перед склеиванием разрежем и перекрутим так, как это показано на рисунке.

hello_html_m639a6a50.jpg

Рисунок 21

Каждая половинка концов перекручивается по-разному, и после склеивания концов выполняются два разреза по средней линии каждой половины бумажной полосы.

Результат: бумажное кольцо распадется на два отдельных кольца, одно из которых при разрезании посредине превращается в два отдельных кольца, а другое — в одно большое.

Эксперимент 4. Трижды перекрученную бумажную ленту проденем сквозь перстень, склеим концы, а затем разрежем по средней линии.

Результат: одно большое бумажное кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня.

Анкета:

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

  1. Знаете ли Вы, что такое топология?

— нет;

— да.

2. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?

— я знаю, что это такое;

— только слышал о таком понятии;

— не знакомо.

3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?

— нет;

— да, это следующие свойства — ______________________.

4. Знаете ли Вы, где применяется лист Мёбиуса?

— нет;

— да, он применяется — _______________________________.



Источник: infourok.ru


Добавить комментарий