Координата точки формула

Координата точки формула

Способы задания прямоугольной системы координат

Как известно, система прямоугольных координат на плоскости может задаваться тремя способами: 1-й способ фиксируется местоположение центра системы — т.O, проводится ось OX и указывается ее положительное направление, перпендикулярно к оси OX проводится ось OY, в соответствии с типом системы (правая или левая) указывается положительное направление оси OY, устанавливается масштаб координат вдоль осей.

При наличии координатных осей для определения координат какой-либо точки C нужно сначала опустить перпендикуляры из этой точки на координатные оси и затем измерить длину этих перпендикуляров; длина перпендикуляра к оси OX равна координате Y, длина перпендикуляра к оси OY координате X точки (рис. 1).

Рис. 1

Кроме системы XOY можно использовать систему X’O’Y’, получающуюся из системы XOY путем переноса начала координат в точку O’ (Xo’=дx, Yo’= дy) и поворота осей координат по часовой стрелке на угол б.

Переход из XOY в X’O’Y’ выполняется по формулам [25]:

(1)

Для обратного перехода используются формулы [25]:

(2)

  • 2-й способ проводятся две взаимно перпендикулярные системы параллельных линий; расстояния между линиями одинаковые, считается, что эти линии параллельны осям координат, и у каждой линии подписывается значение соответствущей координаты (получается координатная сетка).
  • 3-й способ указываются численные значения координат двух фиксированных точек.

Первый способ является общепринятым; в геодезии этим способом задается зональная система прямоугольных координат Гаусса.

На топографических картах и планах система прямоугольных координат Гаусса задается вторым способом.

На местности система прямоугольных координат задается третьим способом; всегда можно найти несколько геодезических пунктов с известными координатами и определять положение новых точек относительно этих пунктов, выполняя какие-либо измерения.

Три элементарных измерения

На плоскости можно измерять углы и расстояния.

Угол фиксируется тремя точками: одна точка — это вершина угла, а две другие точки фиксируют направления 1-й и 2-й сторон угла. В простейшем случае хотя бы одна точка из трех не имеет координат, то-есть, является определяемой; в общем случае определяемыми могут быть одна точка, две точки или все три.

Расстояние фиксируется двумя точками, и в общем случае определяемыми могут быть одна точка или обе.

В данном разделе рассматривается простейший случай, когда измерение угла или расстояния выполняют для определения координат одной точки. Поскольку при измерении угла определяемая точка может располагаться либо в вершине угла, либо на одной из его сторон, то с нашей точки зрения на плоскости имеют место три разных измерения, которые назовем элементарными.

Измеряется угол в на пункте A с известными координатами X4, Y4 между направлением с известным дирекционным углом бAB и направлением на определяемую точку P (рис. 2).

Рис. 2

Дирекционный угол б направления AP получается по формуле

(3)

Для прямой линии AP, называемой линией положения точки P, можно написать уравнение в системе XOY [25]:

(4)

В этом уравнении X и Y — координаты любой точки прямой, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Измеряется расстояние S от пункта A с известными координатами XA, YA до определяемой точки P. Из курса геометрии известно, что точка P находится на окружности радиуса S, проведенной вокруг точки A, и называемой линией положения точки P (рис. 3). Уравнение окружности имеет вид:

(5)

В этом уравнении X и Y — координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно.

Рис. 3

Измеряется угол в на определяемой точке P между направлениями на два пункта с известными координатами; это измерение рассматривается в разделе 8.

Координаты X и Y точки P можно найти из совместного решения двух уравнений, поэтому, взяв любую комбинацию из трех измерений по два, получим простейшие способы определения координат точки, назывемые геодезическими засечками: два уравнения типа (2.4) — прямая угловая засечка, два уравнения типа (2.5) — линейная засечка, одно уравнение типа (2.4) и одно уравнение типа (2.5) полярная засечка, два измерения углов на определяемой точке — обратная угловая засечка.

Остальные комбинации измерений называются комбинированными засечками.

Каждое из трех элементарных измерений является инвариантом по отношению к системам координат, что позволяет решать засечки на различных чертежах, определяя положение точки P относительно фиксированных точек A и B графическим способом.

Аналитический способ решения засечек — это вычисление координат определяемой точки. Оно может быть выполнено через решение системы двух уравнений, соответствующих выполненным измерениям, или через решение треугольника, вершинами которого являются два исходных пункта и определяемая точка (этот способ для краткости назовем способом треугольника).

В любом геодезическом построении принято выделять три типа данных: исходные данные (координаты исходных пунктов, дирекционные углы исходных направлений и т.п.); эти данные часто принимаются условно безошибочными, измеряемые элементы; каждый измеренный элемент обычно сопровождается значением средней квадратической ошибки измерения, неизвестные (или определяемые) элементы; эти элементы подлежат нахождению по специально разработанному алгоритму, и их значения получаются с некоторой ошибкой, зависящей от ошибок измерений и геометрии данного построения.

Полярная засечка

В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта A и дирекционный угол направления AB (или координаты пункта B), измеряемыми элементами являются горизонтальный угол в (средняя квадратическая ошибка измерения угла mв) и расстояние S (относительная ошибка его измерения mS / S = 1 / T), неизвестные элементы — координаты X, Y точки P (рис. 4).

Исходные данные: XA, YA, бAB

Измеряемые элементы: в, S

Неизвестные элементы: X, Y

Рис. 4

Графическое решение. От направления AB отложить транспортиром угол в и провести прямую линию AQ, затем вокруг пункта A провести дугу окружности радиусом S в масштабе чертежа (плана или карты); точка пересечения прямой линии и дуги является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Дирекционный угол б линии AР равен:

б= бAB + в.

Запишем уравнения прямой линии AP — формула (4) и окружности радиуса S вокруг пункта A — формула (5):

(2.6)

Для нахождения координат X и Y точки P нужно решить эти два уравнения совместно как систему. Подставим значение (Y — YA) из первого уравнения во второе и вынесем за скобки (X — XA) 2:

(X — XA) 2 * (1 + tg2 б)= S2.

Выражение (1 + tg2б) заменим на 1 / Cos2б и получим:

(X — XA) 2 =S2 * Cos2б, откуда X — XA = S* Cosб.

Подставим это значение в первое уравнение (6) и получим:

Y — YA = S * Sinб.

Разности координат (X — XA) и (Y — YA) принято называть приращениями и обозначать ДX и ДY.

Таким образом, полярная засечка однозначно решается по формулам:

(7)

координата триангуляция трилатерация

Прямая геодезическая задача на плоскости

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача — это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол б и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (7):

(8)

Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача — это вычисление дирекционного угла б и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис. 5).

Рис. 5

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 (ДX = X2 — X1, ДY = Y2 — Y1), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Д X 00 и Д Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:

(9)

(10)

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (22) находим:

(11)

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции: определение номера четверти по знакам приращений координат Д>X и ДY, вычисление б по формулам связи (22) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

(12)

Если ДX = 0.0, то S = іДYі;

и б = 90o 00′ 00» при ДY > 0,

б = 270o 00′ 00» при ДY < 0.

Если ДY = 0.0, то S = іДXі

и б = 0o 00′ 00» при ДX > 0,

б = 180o 00′ 00» при ДX < 0.

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:

(13)

если ДY => 0o, то б = a,

если ДY < 0o, то б = 360o — a.

Прямая угловая засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы в1 и в2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис. 6).

Рис. 6

Исходные данные: XA, YA, бAC,

XB, YB, бBD

Измеряемые элементы: в 1, в2

Неизвестные элементы: X, Y

Если бAC и бBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D.

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол в1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол в2 и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

вычислить дирекционные углы линий AP и BP

(14),

(15)

написать два уравнения прямых линий

для линии AP Y — YA= tgб1 * (X — XA), для линии BP Y — YB= tgб2 * (X — XB) (2.16)

решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

(17),

(18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы в1 и в2 измерены от направлений AB и BA, причем угол в1 — правый, а угол в2 — левый (в общем случае засечки оба угла — левые) — рис. 7.

Рис. 7

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой: решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол бAB и длину b линии AB, вычислить угол г при вершине P, называемый углом засечки,

(19)

используя теорему синусов для треугольника APB:

(20)

вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2), вычислить дирекционные углы б1 и б2:

(21)

решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля — от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

(22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол бAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

BAP = бAB — (бAC + в1) и ABP = (бBD + в2) — бBA.

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия: вычисление дирекционных углов б1 и б2, введение местной системы координат X’O’Y’ с началом в пункте A и с осью O’X’, направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов б1 и б2 из системы XOY в систему X’O’Y’ (рис. 8):

X’A = 0, Y’A = 0,

(23),

(24), запись уравнений линий AP и BP в системе X’O’Y’:

(26)

Рис. 8

и совместное решение этих уравнений:

(27)

перевод координат X’ и Y’ из системы X’O’Y’ в систему XOY:

(28)

Так как Ctgб2′ = — Ctgг и угол засечки г всегда больше 0о, то решение (27) всегда существует.

Линейная засечка

От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P.

Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B — окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис. 9).

Исходные данные: XA, YA, XB, YB,

Измеряемые элементы: S1, S2,

Неизвестные элементы: X, Y.

Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один — для ручного счета (по способу треугольника) и один — для машинного счета.

Рис. 9

Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:

решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла бAB и длины b линии AB, вычисление в треугольнике ABP углов в1 и в2 по теореме косинусов:

(29)

вычисление угла засечки г

(30)

вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:

пункт P справа от линии AB

(31)

пункт P слева от линии АВ

(32)

решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:

1-е решение

(33)

2-е решение

(34)

Результаты обоих решений должны совпадать.

Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий: решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла бAB и длины b линии AB, введение местной системы координат X’O’Y’ с началом в точке A и осью O’X’, направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X’O’Y’:

(35)

запись уравнений окружностей в системе X’O’Y’:

(36)

и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:

(37)

(38)

(39)

Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (39) берется знак «-», если справа, то «+».

Пересчет координат X’ и Y’ точки P из системы X’O’Y’ в систему XOY по формулам (2):

Обратная угловая засечка

К элементарным измерениям относится и измерение угла в на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис. 10). Однако это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.

Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2в (рис. 10).

Рис. 10

Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:

(41)

Уравнение окружности имеет вид:

(42)

где XC и YC — координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (42) X и Y — координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам в1 и в2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис. 11).

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы в1 и в2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.

Исходные данные: XA, YA, XB,

YB, XC, YC;

Измеряемые элементы: в1, в2.

Неизвестные элементы: X, Y.

Рис. 11

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один — через последовательное решение трех линейных засечек.

Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис. 11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (41):

(43)

Если координаты центров окружностей — точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 — по расстоянию R2.

Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла в1: если в1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если в1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.

Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если в2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если в2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.

Комбинированные засечки

В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.

На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.

Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями — многократными.

При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.

Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (n измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно n-1), а затем — вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.

Ошибка положения точки

В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки Mp равна средней квадратической ошибке mx этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале (X — t * mx) — (X + t * mx), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50.

В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = Mp.

Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис. 2.12а); для измеренного угла в с вершиной в исходном пункте A — прямая линия, проведенная под углом в к исходной линии AB (рис. 2.12б).

Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие «полоса положения». Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой ms — это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * ms между двумя окружностями радиусами (S — ms) и (S + ms); для угла в, измеренного с ошибкой mв — это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * mв. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис. 12).

Линия положения и «полоса положения» точки P

Рис. 12. Линия положения и «полоса положения» точки P: а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.

Введем понятие «вектор ошибки измерения» и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор Vs направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль vs = ms; для измеренного угла вектор Vв направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль нв = S * mв / с, где S = A * P.

Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис. 13).

угольник положения

Рис. 13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,

Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла — отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям.

Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части, которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах г и (180o — г), где г (180o — г) — угол между векторами ошибок V1 и V2. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов н1 и н2, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам:

(44)

Рис. 14

По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними г (180o — г) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой — d1 и длинной — d2:

Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис. 14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные.

Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить: как радиус круга R, площадь которого (р * R2) равна площади параллелограмма положения точки P (4 * a * b * Sinг),

(45)

как ошибку положения по «наиболее слабому направлению», совпадающему с направлением длинной диагонали:

(46)

как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок:

(47)

На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки:

полярная засечка (рис. 4):

(48)

прямая угловая засечка (рис. 6, 7):

(49)

линейная засечка (рис. 9):

(50)

обратная угловая засечка (рис. 11).

В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых:

ошибку линейной засечки точки О1 с исходных пунктов A и B (mO1), ошибку линейной засечки точки О2 с исходных пунктов B и C (mO2), ошибку линейной засечки точки P с точек О1 и О2 (mP),

(50a)

Угол засечки г зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов в1 и в2; для рис. 11 этот угол вычисляется по формуле:

(51)

Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса MP с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как «эллипс ошибок» (кривая 2-го порядка), «подера эллипса ошибок» (кривая 4-го порядка) и др. [22].

При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник. Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.



Источник: studwood.ru


Добавить комментарий