Матрица третьего порядка

Матрица третьего порядка

Назад (Математика).

Определитель: det, , ||, детерминант.

Определитель — это не матрица, а число.

Как найти определитель матрицы?

Чтобы найти определитель матрицы вводят понятие «минор». Обозначение: Mij — минор, Mij2 — минор второго порядка (определитель матрицы 2*2) и т.д.

Чтобы найти минор для элемента aij, вычеркиваем из матрицы A i-ю строку и j-й столбец. Получаем матрицу размерностью n-1*m-1, находим определитель этой матрицы.

Пример: найти минор второго порядка для элемента a12 матрицы A:

Минор второго порядка

Решение:

Вычеркиваем из матрицы A 1-ю строку и 2-й столбец. Получаем матрицу размерностью 2*2, находим определитель этой матрицы:

Минор второго порядка

Ответ: -6.

Таким образом, минор — это не матрица, а число.

Пример: найти определитель (в общем виде) матрицы 2*2 разложением по 1) строке; 2) столбцу:

Определитель матрицы

Решение:

По строке: det A = a11*(-1)1+1*M11+a12*(-1)1+2*M12 = a11*1*a22+a12*(-1)*a21 =
= a11*a22-a12*a21

По столбцу: det A = a11*(-1)1+1*M11+a21*(-1)2+1*M21 = a11*1*a22+a21*(-1)*a12 =
= a11*a22-a21*a12

Несложно увидеть, что получен одинаковый результат.

Матрица третьего порядка

Таким образом, чтобы найти определитель матрицы 2*2 достаточно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной:

Как быстро вычислить определитель третьего порядка?

Для вычисления определителя третьего порядка используют правило треугольника (или «звездочки»).

Определитель матрицы

1. Перемножаем элементы главной диагонали: det(A)=11*22*33…

Определитель матрицы

2. К полученному произведению прибавляем произведение «треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали»: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32…

Определитель матрицыОпределитель матрицы

3. Все, что связано с побочной диагональю, берем со знаком «-«. Перемножаем элементы побочной диагонали и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31…

Определитель матрицы

4. Аналогично «главным треугольникам» перемножаем побочные и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21.

Определитель матрицыОпределитель матрицы

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

Свойства определителя матрицы.

  • При перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определителя его знак меняется на обратный;
  • Определитель, содержащий две одинаковых строки или столбца, равен нулю;
  • Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на это число;
  • При транспонировании матрицы её определитель не меняет своего значения;
  • Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному;
  • Если каждый элемент какой-либо строки или столбца определителя представляем в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей;
  • Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.



Источник: akak-ich.ru


Добавить комментарий