Онлайн исследовать функцию на четность

Онлайн исследовать функцию на четность

Четные функции

Определение 1

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(x\right)=f(-x)\]

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Онлайн исследовать функцию на четность

Рисунок 1.

Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.

Нечетные функции

Определение 2

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(-x\right)=-f(x)\]

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

Онлайн исследовать функцию на четность

Рисунок 2.

Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.

Функция общего вида

Определение 3

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.

Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $—x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.

Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

Онлайн исследовать функцию на четность

Рисунок 3.

Пример задачи

Пример 1

Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

а) $f(x)=x^2+3$

б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

Решение.

а) $f(x)=x^2+3$

$f\left(-x\right)={(-x)}^2+3=x^2+3=f(x)$\textit{ }следовательно, $f(x)$ — четная функция.

Изобразим её на графике:

Онлайн исследовать функцию на четность

Рисунок 4.

б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

$f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2+4}{-x}=-\frac{x^2+4}{x}$ следовательно, $f(x)$ — нечетная функция.

Изобразим её на графике:

Онлайн исследовать функцию на четность

Рисунок 5.

в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

$f\left(-x\right)={\sin \left(-x\right)\ }+{\cos \left(-x\right)\ }=cosx-sinx$ следовательно, $f\left(x\right)$ — функция общего вида.

Изобразим её на графике:

Онлайн исследовать функцию на четность

Рисунок 6.



Источник: spravochnick.ru


Добавить комментарий