Простая геометрия

Простая геометрия

Лобачевский в свое время попытался доказать один из постулатов Евклида от противного. Он сделал «абсурдное» предположение и выводил из него следствия, надеясь прийти к противоречию. Старался Лобачевский долго, а противоречия все не было и не было. Выстраивая следствия из новой аксиоматики одно за другим, Лобачевский создал целый новый мир — логически безупречный, но увы! невообразимый. Дело в том, что Лобачевский создал геометрию, но не ее модель. (Чтобы было понятно, в чем разница между геометрией и моделью, лучше прочитать отдельную статью.) А чтобы получить представление, нужна именно модель. Без нее трудно было и понять Лобачевского, и популяризовать его мысль. Позднее модели геометрии Лобачевского удалось построить, и притом разные. Общепринятой модели все же нет; и в этом одна из причин, почему о геометрии Лобачевского трудно рассказывать. Пуанкаре придумал и описал в своей книге «Наука и гипотеза» физику и геометрию мира, устроенного по Лобачевскому.

Давайте представим себе плоский мир внутри круга на евклидовой плоскости. В этом мире температура зависит не от погоды, а от местоположения. В центре круга всегда комфортные 20 градусов Цельсия, а с удалением температура падает — до абсолютного нуля на границе круга (она называется абсолютом). Этот мир населен симпатичными существами, размеры которых пропорциональны температуре. Передвигаясь от центра к краю, существа мельчают.

Простая геометрия

Пропорциональны температуре размеры всего в этом мире: измерительных приборов, линеек и циркулей; всего, с чем можно сравнить свой рост. Поэтому существа, путешествуя по своему миру, не замечают изменений размера.

Мельчает и длина шага аборигенов. Если мерить в шагах в минуту, то ходят они с постоянной скоростью, но ближе к краю шаги становятся совсем коротенькими. Поэтому до абсолюта аборигены дойти не могут, свой мир они считают бесконечным.

Чтобы поскорее добраться из одной точки в другую, лучше сделать свои шаги большими. Синий путь на картинке проходит ближе к центру, чем красный, поэтому по синему пути из А в В можно дойти быстрее. Кратчайшие пути в этом мире проходят по диаметрам или по дугам окружностей, которые пересекают абсолют под прямым углом. Их аборигены и называют прямыми линиями или просто прямыми. На картинке они синие.

С одной стороны, здесь уместно привести формулы, которые приводят именно к таким прямым. С другой стороны, вроде бы и неуместно. Оставлю только картинку.
С одной стороны, здесь уместно привести формулы, которые приводят именно к таким прямым. С другой стороны, вроде бы и неуместно. Оставлю только картинку.

Ниже – рисунок из википедии. Здесь красные точки соединены отрезками «прямых». Длины всех отрезков на рисунке в этой геометрии равны. Конечно, с нашей точки зрения кажется, что ближе к абсолюту отрезки измельчаются. Но с точки зрения жителей плоскости Лобачевского все отрезки равны. Им легко в этом убедиться, померив расстояния шагами. Для аборигенов все треугольники на этом рисунке равносторонние.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского#/media/Файл:Uniform_tiling_73-t2.png
https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского#/media/Файл:Uniform_tiling_73-t2.png

Кстати, в каждой красной точке сходятся вершины семи равносторонних треугольников. Это возможно потому, что сумма углов любого треугольника в этой геометрии не π, а меньше.

Как и у нас, в этом мире прямые бесконечны: ведь до конца прямой дойти невозможно, как долго ни шагай. Как и у нас, параллельными прямыми называются те, которые не имеют общих точек. Но есть важное отличие: если задать прямую и точку вне ее, через эту точку пройдет не одна прямая, параллельная данной, а больше.

Прямой АВ параллельны все остальные нарисованные прямые. Но друг другу они параллельными быть не обязаны. Прямые ОС и ОЕ не имеют общих точек с АВ, но друг другу не параллельны -- пересекаются в точке О. Видно, что через точку О проходит более одной прямой, параллельной АВ. Через точку С тоже.
Прямой АВ параллельны все остальные нарисованные прямые. Но друг другу они параллельными быть не обязаны. Прямые ОС и ОЕ не имеют общих точек с АВ, но друг другу не параллельны — пересекаются в точке О. Видно, что через точку О проходит более одной прямой, параллельной АВ. Через точку С тоже.

По Лобачевскому, это отличие самое важное. Ведь вся история началась с того, что Лобачевский заменил постулат Евклида

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

на такой:

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной

И все, мир изменился до неузнаваемости.

Вопросы к читателям:

1. Известно ли вам художественное произведение, в котором события разворачиваются на плоскости Лобачевского? (Мне кажется, что есть фантастика такого рода.) Поделитесь, пожалуйста.

(upd: Олег Волынский, рекомендует произведение «Опрокинутый мир», в котором события происходят на неевклидовой поверхности.

Алексей Вячеславович также рекомендует эту книгу:

Хорошая книга, увлекательная. Этот поезд следовал за энергетическим оптимумом для получения электроэнергии, а поле приёмной установки поезда сворачивало их пространство в гиперболу. Читается на одном дыхании.)

2. Устройство обычного термометра основано на том, что коэффициенты теплового расширения у разных веществ разные. Но в этом мире у всех веществ это один коэффициент. Могут ли аборигены как-то установить, что температура в их мире не везде одинаковая?



Источник: zen.yandex.ru


Добавить комментарий