Сократите дробь 4

Сократите дробь 4

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Что такое «сокращение дробей»

Сократить дробь

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби. 

К примеру, возьмем обыкновенную дробь 

624

 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 

2

, в результате чего получим 

624=6÷224÷2=312

. В этом примере мы сократили исходную дробь на 

2

.

Приведение дробей к несократимому виду

В предыдущем примере мы сократили дробь 

624

 на 

2

, в результате чего получили дробь 

312

. Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду? 

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

ab=a÷НОД(a, b)b÷НОД(a, b)

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Вернемся к дроби 

624

 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 

6

 и 

24

 равен 

6

. Сократим дробь:

624=6÷624÷6=14

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

  1. Найти НОД числителя и знаменателя.
  2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь. 

Дана дробь 

182195

. Сократим ее.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида. 

195=182·1+13182=13·14НОД(182, 195)=13

Разделим числитель и знаменатель на 

13

. Получим:

182195=182÷13195÷13=1415

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Дана дробь 

3602940

. Сократим ее.

Для этого представим исходную дробь в виде:

3602940=2·2·2·3·3·52·2·3·5·7·7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

3602940=2·2·2·3·3·52·2·3·5·7·7=2·37·7=649

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

Сократим дробь 

20004400

.

Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 

100

. Сокращаем дробь на 

100

 и получаем:

20004400=2000÷1004400÷100=2044

Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби

2044

 делятся на

2

. Сокращаем и приходим к виду:

2044=20÷244÷2=1022

Получившийся результат снова сокращаем на 

2

 и получаем уже несократимую дробь:

1022=10÷222÷2=511



Источник: Zaochnik.com


Добавить комментарий