Угол по тангенсу онлайн

Угол по тангенсу онлайн

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме «Тригонометрия» на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольникеТригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

 

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinα=Противолежащий катетгипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosα=Прилежащий катетгипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tgα=Противолежащий катетПрилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctgα=Прилежащий катетПротиволежащий катет

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник

ABC

, угол

C

равен

90°:

Прямоугольный треугольник

sinA=CBAB

cosA=ACAB

tgA=sinAcosA=CBAC

ctgA=cosAsinA=ACCB

sinB=ACAB

cosB=BCAB

tgB=sinBcosB=ACCB

ctgB=cosBsinB=CBAC

 

Тригонометрия на окружности — это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого «тригонометрического круга», то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках

(1;0)

и

(1;0),

ось

y

в точках

(0;1)

и

(0;1)

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось

x,

ось

y

и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами

(1;0),

– то есть от положительного направления оси

x,

против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться

S

(от слова start). Отметим на окружности точку

A.

Рассмотрим

SOA,

обозначим его за

α.

Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть

SOA=α=SA.

Тригонометрический круг

 

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки

A

на ось

x

(точка

B)

и на ось игрек (точка

C).

Синус и косинус на тригонометрическом круге

 

Отрезок

OB

является проекцией отрезка

OA

на ось

x,

отрезок

OC

является проекцией отрезка

OA

на ось

y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник

AOB:

cosα=OBOA=OB1=OB

sinα=ABOA=AB1=AB

Поскольку

OCAB

– прямоугольник,

AB=CO.

Итак, косинус угла – координата точки

A

по оси

x

(ось абсцисс), синус угла – координата точки

A

по оси

y

(ось ординат).

 

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол

α

— тупой, то есть больше

90°:

Тригонометрический круг, тупой угол

 

Опускаем из точки

A

перпендикуляры к осям

x

и

y.

Точка

B

в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси

x.

Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку

A

по окружности, расположить ее в

III

или даже в

IV

четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от

0°

до

180°.

Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью

x.

  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы

0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°.

Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось

x

и на ось

y.

Тригонометрический круг, значения углов

 

Координата по оси

x

– косинус угла, координата по оси

y

– синус угла.

Пример:

cos150°=32

sin150°=12

 

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

 

sin2α+cos2α=1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике

OAB:

Основное тригонометрическое тождество, тригонометрический круг

 

AB2+OB2=OA2

sin2α+cos2α=R2

sin2α+cos2α=1

 

0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

 

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

Тригонометрический круг, формулы приведения

можно заметить, что:

sin180°=sin(180°0°)=sin0°

sin150°=sin(180°30°)=sin30°

sin135°=sin(180°45°)=sin45°

sin120°=sin(180°60°)=sin60°

 

cos180°=cos(180°0°)=cos0°

cos150°=cos(180°30°)=cos30°

cos135°=cos(180°45°)=cos45°

cos120°=cos(180°60°)=cos60°

 

Рассмотрим тупой угол

β

:

Смежные углы

 

Для произвольного тупого угла

β=180°α

всегда будут справедливы следующие равенства:

sin(180°α)=sinα

cos(180°α)=cosα

tg(180°α)=tgα

ctg(180°α)=ctgα

 

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Треугольник ABC

 

asinA=bsinB=csinC

 

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

Треугольник ABC, описанная окружность радиуса R

 

asinA=bsinB=csinC=2R

 

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Треугольник ABC

 

a2=b2+c22bccosA

b2=a2+c22accosB

c2=a2+b22abcosC

 

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

 

Скачать домашнее задание к уроку 1.

 



Источник: epmat.ru


Добавить комментарий