Уравнение куба в пространстве

Уравнение куба в пространстве


Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора: $$ a={x_a,y_a,z_a};$$ $$ b={x_b,y_b,z_b}; $$ тогда угол \(\alpha\) между ними находится по формуле: $$ \cos{\alpha}=\frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*\sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой: $$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$ где \(A,B,C,D\) – какие-то числа.

Если найти \(A,B,C,D\), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);\,L(x_L,y_L,z_L);\,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$\begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \\ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.\end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: \(A,B,C,D\). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем \(D\) приравнять \(1\), если же проходит, то \(D=0\). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на \(D\), от этого уравнение не изменится, но вместо \(D\) будет стоять \(1\), а остальные коэффициенты будут в \(D\) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $$ K(1;2;3);\,P(0;1;0);\,L(1;1;1). $$ Подставим координаты точек в уравнение плоскости \(D=1\): $$\begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\\ A*0+B*1+C*0+1=0, \\ A*1+B*1+C*1+1=0.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\\ B+1=0, \\ A+B+C+1=0.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A-2+3*C+1=0,\\ B=-1, \\ A=-C.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A=-0.5,\\ B=-1, \\ C=0.5.\end{cases}$$ Получаем искомое уравнение плоскости: $$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки \(M(x_M;y_M;z_M)\), легко найти расстояние до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0:\) $$ \rho=\frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. \(H (1;2;0)\) до плоскости, заданной уравнением $$ 2*x+3*y-\sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты: $$ A=2,\,B=3,\,C=-\sqrt{2},\,D=4.$$ Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. $$ \rho=\frac{|2*1+3*2-\sqrt{2}*0+4|}{\sqrt{2^2+3^2+{-\sqrt{2}}^2}}. $$ $$ \rho=\frac{12}{\sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма \(ABCFDE\), ребра которой равны 2. Точка \(G\) — середина ребра \(CE\).

  • Докажите, что прямые \(AD\) и \(BG\) перпендикулярны.
  • Найдите расстояние между прямыми \(AD\) и \(BG\).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).



Источник: sigma-center.ru


Добавить комментарий