Условие параллельности двух прямых в пространстве

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллельные плоскости

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Рис. 1.

Существуют ли параллельные плоскости?

Вспомним аксиому А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (Рис. 2.).

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Рис. 2.

То есть, еще остается случай, если две плоскости не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Доказательство

Проведем в плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые а1 и b1, причем прямая а1 параллельна прямой а, а прямая b1 параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве и Условие параллельности двух прямых в пространстве параллельны.

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Рис. 3.

Прямая а принадлежит плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, прямая а1 принадлежит плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, а прямая а параллельна прямой а1. Значит, прямая а параллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, по признаку параллельности прямой и плоскости.  Аналогично, прямая b параллельна прямой b1 из плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве. Значит, прямая b параллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Предположим, что плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве и Условие параллельности двух прямых в пространстве не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Рис. 4.

Плоскость Условие параллельности двух прямых в пространстве проходит через прямую а, параллельную плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость Условие параллельности двух прямых в пространстве проходит через прямую b, параллельную плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве и Условие параллельности двух прямых в пространстве параллельны, прямая m лежит в плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Докажите, что прямая m параллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Доказательство

Предположим, что прямая mпересекается с плоскостью Условие параллельности двух прямых в пространстве в некоторой точке М (Рис. 5.). Тогда точка М принадлежит и плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, и плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве (так как точка М лежит на прямой m, а прямаяmпринадлежит плоскостиУсловие параллельности двух прямых в пространстве). Но это невозможно, так как плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве и Условие параллельности двух прямых в пространстве по условию параллельны. Значит, прямая mпараллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Рис. 5.

Докажите, что плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве и Условие параллельности двух прямых в пространстве параллельны, если прямые m и nплоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве параллельны плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Доказательство

Предположим, что плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве и Условие параллельности двух прямых в пространстве пересекаются по прямой с (Рис. 6.). Плоскость Условие параллельности двух прямых в пространстве проходит через прямую m, параллельную плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, и пересекает эту плоскость по прямой с. Значит, прямая m параллельна прямой с. Аналогично, плоскость Условие параллельности двух прямых в пространстве проходит через прямую n, параллельную плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая n параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые m и n, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве и Условие параллельности двух прямых в пространстве не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Рис. 6.

Две стороны треугольника параллельны плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Доказательство

Дан треугольник АВС и плоскостьУсловие параллельности двух прямых в пространстве. Стороны АВ и АС параллельны плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве (Рис. 7.). Докажем, что и сторона ВС параллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Через две пересекающиеся прямые АС и АВ проходит плоскостьУсловие параллельности двух прямых в пространстве и притом только одна. Плоскость Условие параллельности двух прямых в пространстве параллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, так как прямые АС и АВ параллельны плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве (из задачи 2). Но прямая ВС лежит в плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве, а значит ВС параллельна плоскости Условие параллельности двух прямых в пространстве (из задачи 1).

Условие параллельности двух прямых в пространстве

Рис. 7.

Итак, мы рассмотрели определение и признак параллельных плоскостей. На следующем уроке мы рассмотрим свойства параллельных плоскостей.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник)

2. Математика (Источник)

3. Шпаргалки (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Какие плоскости называются параллельными?

2. Могут ли быть параллельными плоскости, проходящие через непараллельные прямые?

3. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5 стр. 29



Источник: interneturok.ru


Добавить комментарий