Величина момента

Величина момента

а) Момент силы относительно покоящейся точки (рис. 6.4)

На рис. 6.4 г — радиус-вектор, определяющий положение точки (А) приложения силы F относительно выбранной точки отсчёта О.

Рис. 6.4

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора ?, проведённого в точку приложения силы F, на эту силу.

Численное значение момента силы относительно покоящейся точки М = rF sin а, где из рис. 6.4: sina = sin (п — а); г sina = / — плечо силы относительно точки О (то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила F). Значит величина момента силы относительно покоящейся точки

Момент силы М перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы ? и F, то есть М _1_г и M_LF (рис. 6.4) (по правилу определения направления вектора, являющегося векторным произведением двух других векторов).

Вращение вокруг точки О в направлении действия силы F и момент силы М образуют правовинтовую систему. Момент силы М — характеризует способность силы вращать тело вокруг точки, относительно которой он берется.

Замечание. Если тело может вращаться относительно точки О произвольным образом, под действием силы тело повернется вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат сила и точка О, то есть вокруг оси,

совпадающей с направлением момент силы относительно данной точки (М).

б) Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно некоторой оси называется составляющая вдоль этой оси момента силы относительно точки, лежащей на данной оси (рис. 6.5).

На рис. 6.5 точка А — точка приложения силы F, ? — радиус- вектор, задающий положение точки приложения силы F относительно выбранной точки О. Допустим вектор момента силы М относительно точки О лежит в плоскости чертежа, тогда его составляющие Мх. и Mv представлены на рисунке. Заметим, что где бы на оси ни лежала точка О, MY и М будут иметь одно и тоже значение.

Рис. 6.5

Очевидно, что если какая-то ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы относительно данной оси Mr = М, а если ось z перпендикулярна М , то М_ =0

Можно доказать, что, например, момент силы относительно оси Оу

где г±иF± — составляющие радиуса-вектора г, определяющего положение точки приложения силы F, и самой силы, соответственно, перпендикулярные данной оси Оу.

Пусть ? лежит в плоскости ху. Сила F в общем случае может не лежать в плоскости ху (рис. 6.5). Разложим векторы г и F на взаимно перпендикулярные составляющие

Здесь ?ц и F|| — составляющие радиуса-вектора г и силы F, соответственно, параллельные оси у. Подставив (6.1.8) в (6.1.7), получим выражение для момента силы относительно точки О.

Принимая во внимание правило определения направления вектора, являющегося векторным произведением двух других векторов, определяем, что

Доказали: Mv =^г1? F±J, т. е. вращательный момент силы относительно некоторой оси обусловлен составляющими векторов г и F, которые перпендикулярны данной оси. (Согласно (6.1.10) и рис. 6.5, это справедливо для любой оси).

Представим себе (рис. 6.6) окружность радиуса г± с центром на оси Оу.

Рис. 6.6

Такую окружность в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 6.5), описывает при вращении тела точка приложения силы (точка А); составляющая силы Fx лежит в одной плоскости с этой окружностью. Разложим F± на две взаимно перпендикулярные компоненты (рис. 6.6). Из (6.1.10) и рис. 6.6 получим численное значение момента вращающей силы относительно оси Оу.

FT — составляющая силы F, перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось Оу и точку приложения силы А и направленная по касательной к окружности, которую описывает при вращении тела точка А (рис. 6.6). Сила Fr лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости, проходящей через ось Оу и точку приложения силы, и перпендикулярна оси Оу.

Из рис. 6.6 векторное произведение j^r , FTJ численно равно

Получаем, что = |MV|, и направления записанного векторного произведения и вектора М(. совпадают. Отсюда можно сделать заключение. Поворот (вращение) вокруг оси Оу может быть вызван только составляющей FT, причем эта составляющая тем успешнее осуществляет поворот, чем больше ее плечо rL.

Мы получили (6.1.10):

Составляющая силы F, параллельная выбранной оси (F(|), не вызывает вращения тела относительно данной оси. Заметим также, что если линия действия силы направлена по оси вращения, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Всё сказанное справедливо и для момента импульса тела относительно оси:

Две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, — это пара сил (рис. 6.7).

Рис. 6.7

На рис. 6.7: F, =— F2, /- плечо пары сил.

Суммарный момент образующих пару сил относительно точки О

Вектор момента пары сил численно равен произведению модуля любой из сил на плечо: М =IFX и перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы. Записанное выражение не зависит от выбора точки О.



Источник: studme.org


Добавить комментарий